Question

已知a_n=aⁿ（a是常数，a≠0且a≠1），S_n为|a_n|的前n项和，b_n=

2Sn

an

+1，若数列|b_n|是等比数列，则a=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：依题意，通过对参数a分a＞0与a＜0两类讨论，可分别求得b₁、b₁、b₁的值，利用数列|b_n|是等比数列，得|b₂|²=|b₁|•|b₃|，从而可求得a的值．

解答： 解：∵b_n=

2Sn

an

+1，a_n=aⁿ（a是常数，a≠0且a≠1），
当a＞0时，|b_n|=b_n，
∴b₁=

2|a1|

a1

+1=

2|a|

a

+1=3，
b₂=

2(|a1|+|a2|)

a2

+1=

2(a+a2)

a2

+1=

2

a

+3，
b₃=

2(a+a2+a3)

a3

+1=

2

a2

+

2

a

+3，
∵数列|b_n|是等比数列，
∴|b₂|²=|b₁|•|b₃|，即b₂²=b₁•b₃，（

2

a

+3）²=3（

2

a2

+

2

a

+3），
整理得：

1

a2

-

3

a

=0，解得a=

1

3

．
当a＜0时，同理可得b₁=-1，b₂=-

2

a

+3，b₃=-

2

a2

+

2

a

-1，
∵数列|b_n|是等比数列，
∴（-

2

a

+3）²=1×（

2

a2

-

2

a

+1），
整理得：

1

a2

-

5

a

+4=0，解得

1

a

=1（舍去）或

1

a

=4（舍去）．
综上所述，a=

1

3

．
故答案为：

1

3

．

点评：本题考查递推关系的应用，突出考查等比关系的确定，考查分类讨论思想与综合运算能力，属于难题．