Question

已知x＞y＞2，且x+y，x-y，xy，

y

x

能依某种顺序构成等比数列，试求此等比数列．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：分①当

y

x

＜x-y时和②当

y

x

＞x-y 时两种情况，分别利用等比数列的定义和性质求得x、y的值，可得此等比数列．

解答： 解：由条件可得x-y＜x+y＜xy，故需讨论

y

x

和x-y的大小，
由于

y

x

＜1，①当

y

x

＜x-y时，

y

x

＜x-y＜x+y＜xy，故由题意可得

y

x

、x-y、x+y、xy 依次构成等比数列，
∴

y x •(xy)=(x+y)(x-y) (x+y)2=(x-y)•xy

，求得x=1+5

2

，y=5+

2

2

，
∴此等比数列为：

2

2

、-4+

9 2

2

、6+

11 2

2

、10+

51 2

2

．
②当

y

x

＞x-y，由x-y，

y

x

，x+y，xy顺次构成等比数列可得（x+y）²=

y

x

•（xy），求得x=-2y，这不满足条件x＞y＞2，
故这种情况不存在．
综上可得，此等比数列为：

2

2

、-4+

9 2

2

、6+

11 2

2

、10+

51 2

2

．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．