Question

已知△ABC的三个顶点分别为A（1，1），B（5，4），C（3，8），过A点作直线l，它把△ABC的面积分为1：3两部分，求直线l的点斜式方程．

Answer 1

考点：待定系数法求直线方程

专题：直线与圆

分析：根据三角形的面积之间的关系求出对应点的坐标，求出直线的斜率，代入点斜式方程即可得到结论．

解答： 解：∵过A点作直线l，它把△ABC的面积分为1：3两部分，
∴两个三角形的高相同，
则面积之比等于底面边长之比，
即直线l与BC的交点是BC的四等分点，
即CD：BD=1：3或BE：CE=1：3，
则

CD

=

1

4

CB

或

CE

=

3

4

CB

，
设D（x，y），则（x-3，y-8）=

1

4

（2，-4）=（

1

2

，-1），
即

x-3= 1 2 y-8=-1

，解得

x= 7 2 y=7

，即D（

7

2

，7），此时AD的斜率k=

7-1

7 2 -1

=

6

5 2

=

12

5

，直线AD的点斜式方程为y-1=

12

5

（x-1）．
设E（x，y），则（x-3，y-8）=

3

4

（2，-4）=（

3

2

，-3），
即

x-3= 3 2 y-8=-3

，解得

x= 9 2 y=5

，即E（

9

2

，5），此时AE的斜率k=

5-1

9 2 -1

=

4

7 2

=

8

7

，直线AD的点斜式方程为y-1=

8

7

（x-1）．
综上直线l的点斜式方程为y-1=

12

5

（x-1）或y-1=

8

7

（x-1）．

点评：本题主要考查直线方程的求解，根据三角形的面积之间的关系求出对应点的坐标是解决本题的关键．考查学生的运算能力．