Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且过点（

3

，

1

2

）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+t 与圆C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于点A，且l与椭圆E只有一个公共点B．
①求证：k²=

R2-1

4-R2

；
②当R为何值时，丨AB丨取得最大值？并求出最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）由椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且过点（

3

，

1

2

），建立方程组，求出a，b，即可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）①由题意可设直线l的方程为y=kx+t，由直线l与圆O相切可得r，t与k的关系式，然后联立直线与椭圆方程，由直线与椭圆C只有一个公共点可得k，t的关系，即可得证；
②结合方程的根与系数关系及由直角三角形OAB中，|AB|²=|OB|²-|OA|²，利用基本不等式即可求解最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且过点（

3

，

1

2

），
∴

a2-b2 a = 3 2 3 a2 + 1 4 b2 =1

，
∴a=2，b=1，
∴椭圆E的方程为

x2

4

+y2=1…（4分）
（Ⅱ） 证明：①由直线l与圆C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A，得R=

|t|

1+k2

，
即 t²=R²（1+k²）…（5分）
又∵l与椭圆E只有一个公共点B，
由

y=kx+t x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，
∵直线与椭圆C只有一个公共点
∴△=（8kt）²-4（+4k²）（4t²-4）=0
∴t²=1+4k²②
由①②，得k²=

R2-1

4-R2

…（8分）
②解：设B（x₀，y₀），由k²=

R2-1

4-R2

得t²=

3R2

4-R2

  
由韦达定理，x₀²=

16R2-16

3R2

∵B（x₀，y₀）点在椭圆上，
∴y₀²=1-

1

4

x₀²=

4-R2

3R2

∴|OB|²=x₀²+y₀²=5-

4

R2

，…（10分）
在直角三角形OAB中，|AB|²=|OB|²-|OA|²=5-（

4

R2

+R2），
∵

4

R2

+R2≥4，当且仅当R=

2

∈（1，2）时取等号，
∴|AB|²≤5-4=1，
∴AB的最大值为1．…（12分）

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，直线与椭圆相交关系、相切关系的应用及方程的根与系数关系的应用，本题具有一定的综合性．