Question

设椭圆C₁：

x2

5

+y²=1的右焦点为F，P为椭圆上的一个动点．
（Ⅰ）求线段PF的中点M的轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）过点F的直线l与椭圆C₁相交于点A、D，与曲线C₂顺次相交于点B、C，当|AB|=|FC|-|FB|时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用代入法，可求线段PF的中点M的轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为：x=my+2，代入椭圆方程，求出A，C的纵坐标，由题设|AB|=|FC|-|FB|，可得|AF|=|FC|，有|y_A|=|y_C|，即可求出直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设点M（x，y），F（2，0），故P点的坐标为（2x-2，2y），
代入椭圆方程得：

(2x-2)2

5

+(2y)2=1，
即线段PF的中点M的轨迹C₂的方程为：

4(x-1)2

5

+4y2=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为：x=my+2，
解方程组

x=my+2 x2 5 +y2=1

⇒(m2+5)y2+4my-1=0，△1=16m2+4(m2+5)=20m2+20，
当m＞0时，则yA=

-4m+2 5 m2+1

2(m2+5)

，
解方程组

x=my+2 4(x-1)2 5 +4y2=1

⇒4(m2+5)y2+8my-1=0，
△2=64m2+4(4m2+20)=80m2+80，|yc|=

8m+4 5 m2+1

2(4m2+20)

，
由题设|AB|=|FC|-|FB|，可得|AF|=|FC|，有|y_A|=|y_C|，
所以

-4m+2 5 m2+1

2(m2+5)

=

8m+4 5 m2+1

2(4m2+20)

，即6m=

5

m2+1

（m＞0），
由此解得：m=

5 31

，
故符合题设条件的其中一条直线的斜率k=

1

m

=

155

5

；
当m＜0时，同理可求得另一条直线方程的斜率k=-

155

5

，
故所求直线l的方程是y=±

155

5

(x-2)．

点评：本题考查代入法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．