Question

已知函数f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）+2cos²ωx，x∈R（ω＞0），在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

π

6

．若将函数f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的最大值及单调递减区间．
（2）（文）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=

3

，b+c=3且f（A）=2，求角A的值．

Answer 1

考点：正弦定理,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值

分析：（1）f（x）解析式利用诱导公式及二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

π

6

，求出ω的值，确定出f（x）解析式，再利用平移规律确定出g（x）解析式，根据正弦函数的值域及单调性即可确定出函数g（x）的最大值及单调递减区间；
（2）由f（A）=2及（1）得出的f（x）解析式，求出A的度数即可．

解答： 解：（1）f（x）=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

3

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

，
令2ωx+

π

6

=

π

2

，将x=

π

6

代入可得：ω=1，
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，函数g（x）=sin（x-

π

6

）+

3

2

，
当x=2kπ+

2

3

π，k∈Z时，函数取得最大值

5

2

，
令2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3

2

π，即x∈[2kπ+

2

3

π，2kπ+

5

3

π]，k∈Z为函数的单调递减区间；
（2）f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，
∵f（A）=2，
∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，即

π

6

＜2A+

π

6

＜

13

6

π，
∴2A+

π

6

=

5

6

π，
∴A=

π

3

．

点评：此题考查了正弦定理，诱导公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性及值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．