用部分自然数构造如图的数表:用aij表示第i行第j个数(i.j∈N+).使得ai1=aij=i．每行中的其他各数分别等于其“肩膀上的两个数之和．设第n(n∈N+)行中的各数之和为bn．(1)写出b1.b2.b3.b4.并写出bn+1与bn的递推关系,(2)令cn=bn+2.证明{cn}是等比数列.并求出{bn}的通项公式,(3)数列{bn}中是否存在不同的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

用部分自然数构造如图的数表：用a_ij（i≥j）表示第i行第j个数（i，j∈N₊），使得a_i1=aij=i．每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和．设第n（n∈N₊）行中的各数之和为b_n．
（1）写出b₁，b₂，b₃，b₄，并写出b_n+1与b_n的递推关系（不要求证明）；
（2）令c_n=b_n+2，证明{c_n}是等比数列，并求出{b_n}的通项公式；
（3）数列{b_n}中是否存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p，q，r∈N₊）恰好成等差数列？若存在，求出p，q，r的关系；若不存在，说明理由．

考点：数列的应用

专题：

分析：（1）利用数表，可求b₁，b₂，b₃，b₄，并且b_n+1=a_（n+1）1+a_（n+1）2+…+a_{（n+1）（n+1）}=2（a_n1+a_n2+…+a_nn）+2=2b_n+2．
（2）由b_n+1=2b_n+2，可得b_n+1+2=2（b_n+2），从而{b_n+2}是以b₁+2=3为首项，2为公比的等比数列，即可求出{b_n}的通项公式；
（3）设p＞q＞r，{b_n}是递增数列，2b_q=b_p+b_r，由此能导出数列{b_n}中不存在不同的三项b_p，b_q，b_r恰好成等差数列．

解答： （1）解：b₁=1，b₂=2+2=4，b₃=3+4+3=10，b₄=4+7+7+4=22，
b_n+1=a_（n+1）1+a_（n+1）2+…+a_{（n+1）（n+1）}=n+1+（a_n1+a_n2）+…+（a_n（n-1）a_nn）+n+1=2（a_n1+a_n2+…+a_nn）+2=2b_n+2；
（2）证明：∵b_n+1=2b_n+2，
∴b_n+1+2=2（b_n+2）
∴{b_n+2}是以b₁+2=3为首项，2为公比的等比数列，
∵c_n=b_n+2，∴{c_n}是等比数列，
∵b_n+2=c_n=3•2^n-1，
∴b_n=3•2^n-1-2；
（3）解：若数列{b_n}中存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差数列，
不妨设p＞q＞r，显然{b_n}是递增数列，则2b_q=b_p+b_r（12分）
即2（3•2^q-1-2）=（3•2^p-1-2）+（3•2^r-1-2），化简得：2•2^q-r=2^p-r+1（*）（14分）
由于p，q，r∈N^*，且p＞q＞r，知q-r≥1，p-r≥2，
∴（*）式左边为偶数，右边为奇数，
故数列{b_n}中不存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差数列．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．