Question

在△ABC中，
（1）若sin²A=sin²B+sin²C+sinBsinC，求角A；
（2）若sinA：sinB：sinC=（

3

-1）：（

3

+1）：

10

，求最大内角．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简得到关系式，利用余弦定理表示出cosA，把得出关系式代入求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）已知比例式利用正弦定理化简求出三边之和，利用余弦定理求出最大内角的余弦值，即可确定出最大内角．

解答： 解：（1）已知等式sin²A=sin²B+sin²C+sinBsinC，利用正弦定理化简得：a²=b²+c²+bc，即b²+c²-a²=-bc，
由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，
∵A为△ABC的内角，
∴A=

2π

3

；
（2）已知比例式sinA：sinB：sinC=（

3

-1）：（

3

+1）：

10

，利用正弦定理化简得：a：b：c=（

3

-1）：（

3

+1）：

10

，
即c为最大边，C为最大角，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

( 3 -1)2+( 3 +1)2-( 10 )2

2( 3 -1)( 3 +1)

=-

1

2

，
∵C为△ABC的内角，
∴C=

2π

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．