题目内容
设a＞0，函数f（x）=
+
是定义域为R的偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
| 3x |
| a |
| a |
| 3x |
（1）求实数a的值；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
考点：奇偶性与单调性的综合
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据偶函数的性质得：f（1）=f（-1），代入解析式化简求值即可；
（2）由（1）求出f(x)=3x+
，再根据定义法证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）由（1）求出f(x)=3x+
| 1 |
| 3x |
解答：
解：（1）因为函数f（x）=
+
是定义域为R的偶函数，
所以f（1）=f（-1），即
+
=
+
，
解得a2=1，又a＞0，则a=1，
证明：（2）由（1）得，f(x)=3x+
，
任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=3x1+
-（3x2+
）=3x1-3x2+
=
，
因为0＜x1＜x2，所以3x1-3x2＜0，3x13x2＞1，
所以；
＜
＜0，
即f（x1）-f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．
| 3x |
| a |
| a |
| 3x |
所以f（1）=f（-1），即
| 3 |
| a |
| a |
| 3 |
| 3-1 |
| a |
| a |
| 3-1 |
解得a2=1，又a＞0，则a=1，
证明：（2）由（1）得，f(x)=3x+
| 1 |
| 3x |
任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=3x1+
| 1 |
| 3x1 |
| 1 |
| 3x2 |
| 3x2-3x1 |
| 3x13x2 |
=
| (3x1-3x2)(3x13x2-1) |
| 3x13x2 |
因为0＜x1＜x2，所以3x1-3x2＜0，3x13x2＞1，
所以；
| (3x1-3x2)(3x13x2-1) |
| 3x13x2 |
| (3x1-3x2)(3x13x2-1) |
| 3x13x2 |
即f（x1）-f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．
点评：本题考查了函数的奇偶性的灵活应用、单调性的证明，熟练掌握定义法证明函数的单调性的步骤是解题的关键．
练习册系列答案
学练快车道口算心算速算天天练系列答案
相关题目
正三棱锥D-ABC中，底面三角形ABC的面积为4| 3 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
| D、与EF位置有关，总面积不确定 |
已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
| A、108cm3 |
| B、100cm3 |
| C、92 cm3 |
| D、84 cm3 |