Question

知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．
（1）求实数a的值；
（2）若f（x）≤kx²对任意x＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，可得f′（e）=3，从而可求实数a的值；
（2）f（x）≤kx²对任意x＞0恒成立，即为k≥

1+lnx

x

对任意x＞0恒成立．即为k≥

1+lnx

x

的最大值．令g（x）=

1+lnx

x

，求出导数，求出极值也为最值，即可得到k的范围．

解答： 解：（1）f（x）=ax+xlnx，可得f′（x）=a+lnx+1，
∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，
∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1；
（2）f（x）≤kx²对即为x+xlnx≤kx²，即1+lnx≤kx，
f（x）≤kx²对任意x＞0恒成立，即为k≥

1+lnx

x

对任意x＞0恒成立．
即为k≥

1+lnx

x

的最大值．
令g（x）=

1+lnx

x

，g′（x）=

1-(1+lnx)

x2

，
令g′（x）=0，得x=1，检验，x=1处附近导数左正右负，则x=1为极大值点，也为最大值点，
则g（1）最大，且为1．
则有k≥1．
故实数k的取值范围是[1，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值与最值，考查不等式恒成立问题转化为求最值问题，解题时构造函数是关键．