题目内容
为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=x2-40x+900，
（1）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
（2）若每处理一吨废弃物可得价值为20万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．当x∈[20，25]时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
（1）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
（2）若每处理一吨废弃物可得价值为20万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．当x∈[20，25]时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
考点：函数模型的选择与应用
专题：函数的性质及应用
分析：（1）建立平均成立的函数关系，结合基本不等式的性质即可得到结论．
（2）求出收入和成本之间的差值，即利润函数，结合二次函数的图象和性质即可得到结论．
（2）求出收入和成本之间的差值，即利润函数，结合二次函数的图象和性质即可得到结论．
解答：
解：（1）∵处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=x2-40x+900，
∴每吨的平均处理成本P=
=
=x+
-40≥2
-40=60-40=20，
当且仅当x=
，即x=30吨时，取等号，此时平均处理成本最少．
（2）根据题意得，利润P和处理量x之间的关系：
P=（20+10）x-y=30x-y=30x-（x2-40x+900）
=-x2+70x-900
=-（x-35）2+325，x∈[20，25]．
∵x=35∉[20，25]，P=-（x-35）2+325在[20，25]上为增函数，
可求得P∈[100，225]．
则最大获利225万元．
∴国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损．
∴每吨的平均处理成本P=
| y |
| x |
| x2-40x+900 |
| x |
| 900 |
| x |
x•
|
当且仅当x=
| 900 |
| x |
（2）根据题意得，利润P和处理量x之间的关系：
P=（20+10）x-y=30x-y=30x-（x2-40x+900）
=-x2+70x-900
=-（x-35）2+325，x∈[20，25]．
∵x=35∉[20，25]，P=-（x-35）2+325在[20，25]上为增函数，
可求得P∈[100，225]．
则最大获利225万元．
∴国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损．
点评：本题考查函数模型的构建，考查函数最值的求解，正确运用求函数最值的方法是关键，要求熟练掌握二次函数的图象和性质．
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