题目内容

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=
f(x)
x
在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=
f(x)
x2
在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．
我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2．
（1）已知函数f（x）=x3-2hx2-hx，若f（x）∈Ω1且f（x）∉Ω2，求实数h的取值范围；
（2）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函数值由下表给出，求证：d（2d+t-4）＞0；
xabca+b+c
f（x）ddt4
（3）定义集合ψ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，请问：是否存在常数M，使得?f（x）∈ψ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值
专题：导数的综合应用
分析：（1）根据：f（x）∈Ω1且f（x）∉Ω2，可得y=
f(x)
x
=x2-2hx-h，利用二次函数的单调性可得-
-2h
2
=h≤0；由y=
f(x)
x2
=x-2h-
h
x
，y′=x+
h
x2
，对h分类讨论可得：当h≥0，此时f（x）∈Ω2；当h＜0时，y′=
x3+h
x2
，函数
f(x)
x2
在x∈（0，+∞）有极值点，可得f（x）∉Ω2．即可得出．
（2）由f（x）∈Ω1，取0＜x1＜x2＜x1+x2，可得
f(x1)
x1
＜
f(x2)
x2
＜
f(x1+x2)
x1+x2
．由表格可知：f（a）=d，f（b）=d，f（c）=t，f（a+b+c）=4，0＜a＜b＜c＜a+b+c，利用“一阶比增函数”可得
d
a
＜
d
b
＜
t
c
＜
4
a+b+c
，再利用不等式的性质即可得出．
（3）根据“二阶比增函数”先证明f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立．再证明f（x）=0在（0，+∞）上无解．即可得出．
解答： （1）解：y=
f(x)
x
=x2-2hx-h，若f（x）∈Ω1，则h≤0；
y=
f(x)
x2
=x-2h-
h
x
，y′=x+
h
x2
，当h≥0，x＞0时，y′＞0，此时f（x）∈Ω2，不符合题意，舍去；
当h＜0时，y′=
x3+h
x2
，此时函数
f(x)
x2
在x∈（0，+∞）有极值点，因此f（x）∉Ω2．
综上可得：当h＜0时，f（x）∈Ω1且f（x）∉Ω2．
因此h的取值范围是（-∞，0）．
（2）证明：由f（x）∈Ω1，若取0＜x1＜x2，
则
f(x1)
x1
＜
f(x2)
x2
＜
f(x1+x2)
x1+x2
．
由表格可知：f（a）=d，f（b）=d，f（c）=t，f（a+b+c）=4，
∵0＜a＜b＜c＜a+b+c，
∴
d
a
＜
d
b
＜
t
c
＜
4
a+b+c
，
∴d＜0，d＜
4a
a+b+c
，d＜
4b
a+b+c
，t＜
4a
a+b+c
，
∴2d+t＜4，
∴d（2d+t-4）＞0．
（Ⅲ）∵集合合ψ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，
∴存在f（x）∈ψ，存在常数k，使得 f（x）＜k 对x∈（0，+∞）成立．
我们先证明f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立．
假设存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＞0，
记
f(x0)
x
2
0
=m＞0
∵f（x）是二阶比增函数，即
f(x)
x2
是增函数．
∴当x＞x0时，
f(x)
x2
＞
f(x0)
x
2
0
=m＞0，
∴f（x）＞mx2，
∴一定可以找到一个x1＞x0，使得f（x1）＞mx12＞k，
这与f（x）＜k 对x∈（0，+∞）成立矛盾．
即f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立．
∴存在f（x）∈ψ，f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立．
下面我们证明f（x）=0在（0，+∞）上无解．
假设存在x2＞0，使得f（x2）=0，
∵f（x）是二阶增函数，即
f(x)
x2
是增函数．
一定存在x3＞x2＞0，使
f(x3)
x
2
3
＞
f(x2)
x
2
2
=0，这与上面证明的结果矛盾．
∴f（x）=0在（0，+∞）上无解．
综上，我们得到存在f（x）∈ψ，f（x）＜0对x∈（0，+∞）成立．
∴存在常数M≥0，使得存在f（x）∈ψ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立．
又令f（x）=-
1
x
（x＞0），则f（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，
又有
f(x)
x2
=-
1
x3
在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）∈ψ，
而任取常数k＜0，总可以找到一个xn＞0，使得x＞xn时，有f（x）＞k．
∴M的最小值 为0．
点评：本题考查了函数的单调性、导数的几何意义，掌握导数法在确定函数单调性和最值时的答题步骤是解答的关键，考查了推理能力与计算能力，本题难度较大．
练习册系列答案
相关题目
已知集合A={x|x2-x-2＜0}，B={x||x|＜1}，则A∩（∁RB）=（　　）
A、（1，2）
B、（1，2]
C、[1，2）
D、[1，2]
下列函数中，最小值为2的是
 

①y=x+
1
x
    ②y=3x+3-x ③y=lgx+
1
lgx
（1＜x＜10）④y=sinx+
1
sinx
（0＜x＜
π
2
）
已知过点M（a，0）（a＞0）的动直线l交抛物线y2=4x于A、B两点，点N与点M关于y轴对称，
（1）当a=1时，求证：∠ANM=∠BNM；
（2）对于给定的正数a，是否存在直线l′：x=m，使得l′被以AM为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线l′的方程，如果不存在，试说明理由．
如图（1）所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图（2）所示的几何体，那么此几何体的表面积为（　　）
A、（1+2
2
）a2
B、（2+
2
）a2
C、（3+2
2
）a2
D、（4+
2
）a2
对于函数f（x）定义域内的任意x1，x2（x1≠x2），有以下结论：
①f（0）=1； 
②f（x1+x2）=f（x1）•（x2）； 
③f（x1•x2）=f（x1）+（x2）；
④
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0； 
⑤f（
x1+x2
2
）＜
f(x1)+f(x2)
2
．
当f（x）=lgx时，上述结论中，正确的是
 
（填入你认为正确的所有结论的序号）
已知函数f（x）=ax2-（2a+1）x+a+1，若对于x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
方程2x+2=
1
x-1
的根的范围为
 
．
已知等差数列{an}中公差不为0，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列
（1）求公差；
（2）求数列{n2an}的前n项和Sn．

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