Question

已知等差数列{a_n}中公差不为0，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列
（1）求公差；
（2）求数列{n2an}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由题意可得a₃²=a₁•a₉=a₉，从而建立关于公差d的方程，解方程可求d；
（2）利用裂项法求和，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题设知公差d≠0，
由a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比数列得

1+2d

1

=

1+8d

1+2d

，
解得d=1，d=0（舍去）；
（2）{a_n}的通项a_n=1+（n-1）×1=n．
S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
∴2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查了等差数列及等比数列的通项公式，考查裂项法求和，属于基本公式的简单运用．