Question

在函数f（x）=1gx的图象上有三点A、B、C，横坐标依次是m-1，m，m+1（m＞2）．
（1）试比较f（m-1）+f（m+1）与2f（m）的大小；
（2）解不等式f（x）＞f（x²+x-2）
（3）求△ABC的面积S=g（m）的值域．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）=1gx具体表示出来，运用对数的性质比较，
（2）转化为

x＞0 x2+x-2＞0 x＞x2+x-2

，求解即可．
（3）根据图形列出式子，转化为对数函数，运用单调性求解．

解答： 解：（1）∵f（m-1）+f（m+1）=lg（m-1）+lg（m+1）=lg（m²-1），
2f（m）=lgm²＞lg（m²-1），
∴f（m-1）+f（m+1）＜2f（m）
（2）由题意f（x）＞f（x²+x-2），f（x）=1gx
知，

x＞0 x2+x-2＞0 x＞x2+x-2

，解得1＜x＜

2

所以不等式的解集是{x|1＜x＜

2

}
（3）S=g（m）=S A1ABB1+S B1BCC1-SCAA1C1
S=

1

2

[lg（m-1）+lgm]+

1

2

[lg（m+1）+lgm]-

1

2

[lg（m-1）+lg（m+1）]×2
S=

1

2

lg

m2

(m+1)(m-1)

=

1

2

lg

m2

m2-1

S=

1

2

lg（1+

1

m2-1

），
因m＞2时，单调递减．
所以g（m）＞g（2）=lg2-

1

2

lg3，
故△ABC的面积S=g（m）的值域为：（lg2-

1

2

lg3，+∞）

点评：本题考察了对数函数的概念，性质，以及运算等问题，属于中档题．