Question

5．①$y=2{x^2}+\frac{4}{x}$的最小值为6；
②当a＞0，b＞0时，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+2\sqrt{ab}≥4$；
③$y=x{（1-2x）^2}，（0＜x＜\frac{1}{2}）$最大值为$\frac{2}{27}$；
④当且仅当a，b均为正数时，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}≥2$恒成立．
以上命题是真命题的是②③．

Answer 1

分析 ①取x=-1时，$y=2{x^2}+\frac{4}{x}$=-2＜6，即可判断出真假；
②当a＞0，b＞0时，两次利用基本不等式的性质即可判断出真假；
③$y=x{（1-2x）^2}，（0＜x＜\frac{1}{2}）$，可得y=$\frac{1}{4}×4x（1-2x）（1-2x）$≤$\frac{1}{4}（\frac{4x+1-2x+1-2x}{3}）^{3}$=$\frac{2}{27}$，即可判断出真假；
④当且仅当$\frac{a}{b}＞$0时，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}≥2$恒成立，即可判断出真假．

解答 解：①取x=-1时，$y=2{x^2}+\frac{4}{x}$=-2＜6，因此是假命题；
②当a＞0，b＞0时，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+2\sqrt{ab}$$≥2\sqrt{\frac{1}{ab}}+2\sqrt{ab}$≥4，当且仅当a=b＞0时取等号，是真命题；
③$y=x{（1-2x）^2}，（0＜x＜\frac{1}{2}）$，∴y=$\frac{1}{4}×4x（1-2x）（1-2x）$≤$\frac{1}{4}（\frac{4x+1-2x+1-2x}{3}）^{3}$=$\frac{2}{27}$，当且仅当x=$\frac{1}{6}$时取等号．因此其最大值为$\frac{2}{27}$，是真命题；
④当且仅当$\frac{a}{b}＞$0时，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}≥2$恒成立，因此是假命题．
以上命题是真命题的是②③．
故答案为：②③．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．