Question

20．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知$b=2，A=\frac{π}{3}$，且$\frac{c}{1-cosC}=\frac{b}{cosA}$，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$或$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得：sinAcosC=sinBcosC，解得cosC=0，或sinA=sinB，分类讨论，分别求出c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵$\frac{c}{1-cosC}=\frac{b}{cosA}$，可得：ccosA=b-bcosC，
∴由正弦定理可得：sinCcosA=sinB-sinBcosC，
∴sinCcosA=sinAcosC+cosAsinC-sinBcosC，可得：sinAcosC=sinBcosC，
∴cosC=0，或sinA=sinB，
∴当cosC=0时，由C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{2}$，又$b=2，A=\frac{π}{3}$，可得：B=$\frac{π}{6}$，c=2b=4，可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×2×4×sin\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$；
当sinA=sinB时，由于A，B为三角形内角，可得A=B=$\frac{π}{3}$，C=π-A-B=$\frac{π}{3}$，△ABC为等边三角形，可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想的应用，属于中档题．