Question

曲线C上的动点P是坐标为（

3

cosθ，

2

sinθ）．
（1）求曲线C的普通方程，并指出曲线的类型及焦点坐标；
（2）过点Q（2，1）作曲线C的两条切线l₁、l₂，证明l₁⊥l₂．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出P的直角坐标，消去θ即可得到曲线C的普通方程，并指出曲线的类型及焦点坐标；
（2）设出过点Q（2，1）作曲线C的切线方程，联立直线与椭圆方程，利用判别式为0，即可证明l₁⊥l₂．

解答： 解：（1）设P（x，y），由题意

x= 3 cosθ y= 2 sinθ

，消去θ，
可得：

x2

3

+

y2

2

=1------（2分）
焦点在x轴的椭圆------（4分）
焦点坐标为（±1，0）------（6分）
（2）易知过Q的直线斜率不存在时与曲线C无交点，不相切；------（7分）
设过Q的直线l：y=k（x-2）+1
由

x2 3 + y2 2 =1 y=k(x-2)+1

得（2+3k²）x²-6k（2k-1）x+3（2k-1）²-6=0
若l与曲线C相切则△=36k²（2k-1）²-12（2+3k²）（（2k-1）²-2）=0
得k²-4k-1=0，则l₁，l₂的斜率为方程的两根
有k₁•k₂=-1------（11分）
∴l₁⊥l₂------（12分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，参数方程与直角坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能力．