Question

如图，四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=

3

，SE⊥AD．
（Ⅰ）证明：BE⊥平面SEC；
（Ⅱ）若SE=1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由平面SAD⊥平面ABCD，知SE⊥平面ABCD，所以SE⊥BE，由四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AE=AB，DE=DC，CD=3AB=3，AE=ED=

3

，可得BE⊥CE，由此能够证明BE⊥平面SEC，从而可得平面SBE⊥平面SEC；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面SBC的法向量

CE

，利用向量的夹角公式，即可求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：由已知条件可得：∠AEB=30°，∠DEC=60°，
∴∠BEC=90°，∴BE⊥EC
又∵平面SAD⊥平面ABCD，SE⊥AD，
∴SE⊥面BEC，
∵BE?平面SBE，
∴BE⊥平面SEC；
（Ⅱ）解：如图分别以EB、EC、ES所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则C(0，2

3

，0)，S（0，0，1），B（2，0，0），
设平面SBC的法向量

n

=(x，y，z)，则有：

n • SB =0 n • SC =0

⇒

n

=(

3

，1，2

3

)，
设直线CE与平面SBC所成角为θ，有sinθ=

| CE • n |

| CE |•| n |

=

1

4

．

点评：本题综合考查了面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理以及线面角等，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．