Question

已知数列{a_n}满足a₁=0，a_n≤a_n+1≤a_n+1（n∈N*），记S_n=

n

k=1

(-1)k-1aak（0＜a＜1），若S₂₀₁₄=0，则当

2014

k=1

aak取最小值时，a₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由S_n=

n

k=1

(-1)k-1aak（0＜a＜1）结合S₂₀₁₄=0得到

1007

k=1

aa2k-1=

1007

k=1

aa2k，进一步得到数列{a_n}从第一项起满足a_2k-1=a_2k，k∈{1，2，…，1007}，
则当

2014

k=1

aak取最小值时a₂₀₁₄的值可求．

解答： 解：由S₂₀₁₄=0，知

2014

k=1

(-1)kaak=0，
即

1007

k=1

aa2k-1=

1007

k=1

aa2k，
∵a_n≤a_n+1（n∈N^*），0＜a＜1，
∴

1007

k=1

aa2k-1≥

1007

k=1

aa2k，
∴a_2k-1=a_2k，k∈{1，2，…，1007}，
∵a₁=0，a_n≤a_n+1≤a_n+1（n∈N^*）．
∴当

2014

k=1

aak取最小值时，a₂₀₁₄=1006．
故答案为：1006．

点评：本题考查了数列和的求法，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于得到a_2k-1=a_2k，k∈{1，2，…，1007}，是中档题．