Question

定义域为{x|x∈R，x＞0}的函数y=f（x）的导函数为y=

1

x

，直线l：x-ey+e=0是曲线y=f（x）的一条切线，则函数y=f（x）的解析式为

 

．（e是自然对数的底数）

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：本题由函数y=f（x）的导函数可以用参数设出函数y=f（x），再根据曲线的切线，求出参数 的值，得到本题结论．

解答： 解：∵定义域为{x|x∈R，x＞0}的函数y=f（x）的导函数为y=

1

x

，
∴f（x）=lnx+c．
∴f′(x)=

1

x

．
∵直线l：x-ey+e=0是曲线y=f（x）的一条切线，
∴记切点为P（x₀，y₀），
则切点纵坐为：y0=

x0

e

+1，
切线的斜率为：k=f′(x0)=

1

x0

，
∴切线l的方程为：y-

x0

e

-1=

1

x0

(x-x0)．
∴y=

1

x0

x+

x0

e

．
∵直线l：x-ey+e=0，即y=

1

e

x+1，
∴

1 x0 = 1 e x0 e =1

，
∴x₀=e，y₀=2．
将x₀=e，y₀=2代入f（x）=lnx+c中，
得：c=1．
∴f（x）=lnx+1．
故答案为：lnx+1．

点评：本题考查了函数的导函数、曲线的切线方程，本题难度不大，属于基础题．