Question

如图，多面体OABCD，AB=CD=2，AD=BC=2

3

，AC=BD=

10

，且OA，OB，OC两两垂直，给出下列 5个结论：
①三棱锥O-ABC的体积是定值；
②球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是

13

；
③直线OB∥平面ACD；
④直线AD与OB所成角是60°；
⑤二面角A-OC-D等于30°．
其中正确的结论是

 

．

Answer 1

考点：空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：由题意，只要构造长方体，设OA=x，OB=y，OC=z，则x²+y²=4，x²+z²=10，y²+z²=12，解得，x=1，y=

3

，z=3，运用棱锥的体积公式，即可判断①；运用异面直线所成角的定义，即可判断②；球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，即可判断③；由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，即可判断④．

解答： 解：由题意，构造长方体，如右图，设OA=x，OB=y，OC=z，
则x²+y²=4，x²+z²=10，y²+z²=12，解得，x=1，y=

3

，z=3，
对于①，三棱锥O-ABC的体积为

1

3

OC×

1

2

OA×OB=

3

2

，故①对；
对于②，球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，
即为

12+32+( 3 )2

=

13

，故②对；
对于③，由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，则OB和平面ACD相交，故③错．
对于④，由于OB∥AE，则∠DAE即为直线AD与OB所成的角，
由tan∠DAE=

DE

AE

=

3

，则∠DAE=60°，故④对；
⑤因为AO⊥OC，DC⊥OC，所以异面直线CD与OA所成的角大小为二面角A-OC-D的二面角大小，连接OE，则角AOE为所求，tan∠AOE=

AE

OA

=

3

，所以∠AOE=60°；⑤错误；
故答案为：①②④

点评：本题考查线面的位置关系的判断，空间异面直线所成的角，以及三棱锥的体积的计算和多面体的外接球的关系，考查运算能力，属于中档题和易错题．