Question

已知函数f（x）=ln（x+1）+mx（x＞-1）．
（Ⅰ）若f（x）在x=1的切线平行于x轴，求实数m的值；
（Ⅱ）已知结论：对任意-1＜a＜b，存在x₀∈（a，b），使得f′（x₀）=

f(b)-f(a)

b-a

，求证：函数g（x）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

（x₁-x）+f（x₁）（其中-1＜x₁＜x₂）对任意x₁＜x＜x₂，都有f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）已知正数λ₁，λ₂满足λ₁+λ₂=1，求证：对任意-1＜x₁＜x₂，都有f（λ₁x₁+λ₂x₂）＞λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导函数，利用f（x）在x=1的切线平行于x轴，可得f′（1）=

1

2

+m=0，即可求实数m的值；
（Ⅱ）根据f″（x）=-

1

(x+1)2

＜0，可得（x）=ln（x+1）+mx是下凸函数，结合函数g（x）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

（x₁-x）+f（x₁），即可得出结论；
（Ⅲ）利用下凸函数的定义“f（x）是定义在闭区间[a，b]上的函数，若任意x，y∈[a，b]和任意λ∈（0，1），有f（λx+（1-λ）y）≤λf（x）+（1-λ）f（y）成立”进行证明即可．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=ln（x+1）+mx，
∴f′（x）=

1

x+1

+m，
∵f（x）在x=1的切线平行于x轴，
∴f′（1）=

1

2

+m=0，
∴m=-

1

2

；
（Ⅱ）证明：∵f（x）=ln（x+1）+mx，
∴f′（x）=

1

x+1

+m，
∴f″（x）=-

1

(x+1)2

＜0，
∴f（x）=ln（x+1）+mx是下凸函数，
∵函数g（x）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

（x₁-x）+f（x₁）（其中-1＜x₁＜x₂），
∴对任意x₁＜x＜x₂，都有f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）证明：根据下凸函数的定义“f（x）是定义在闭区间[a，b]上的函数，若任意x，y∈[a，b]和任意λ∈（0，1），有f（λx+（1-λ）y）≤λf（x）+（1-λ）f（y）成立”
取x=x₁，y=x₂，λ=λ₁，1-λ=1-λ₁=λ₂，而任意正数λ₁，λ₂，λ₁+λ₂=1，x₁、x₂∈（a，b）
得不等式f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）对于任意的x₁，x₂∈（a，b）恒成立．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用下凸函数的定义证明不等式，属于难题．