Question

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，且两个坐标系的坐标长度相同，已知直线l的参数方程为

x=-1+tcosα y=1+tsinα

（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（1）若直线l的斜率为-1，求直线l与曲线C交点的极坐标；
（2）若直线l与曲线C相交弦长为2

3

，求直线l的参数方程．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：直线与圆,坐标系和参数方程

分析：本题（1）将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程，将直线l的参数方程化成普通方程，求出它们交点的直角坐标，再化成极坐标；（2）利用直线与圆相交的弦长与弦心距的关系，求出直线的斜率，得到直线的普通方程，再将普通方程化成参数方程．

解答： 解：（1）∵直线l的参数方程为

x=-1+tcosα y=1+tsinα

（t为参数），直线l的斜率为-1，
∴直线l的普通方程为y-1=-（x+1）即y=-x．
∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，
∴ρ²=4ρcosθ，
∵

ρ2=x2+y2 ρcosθ=x

，
∴x²+y²-4x=0．
由

y=-x x2+y2-4x=0

得：2x²-4x=0，
∴直线l与曲线C交点的三角坐标为A（0，0），B（2，-2）．
由

ρ= x2+y2 tanθ= y x

，
得直线l与曲线C交点的极坐标为A（0，0），B(2

2

，

7

4

π)．
（2）∵直线l的参数方程为

x=-1+tcosα y=1+tsinα

（t为参数），
∴直线l过定点（-1，1），
设直线l的方程为y-1=k（x+1），（k存在）
即kx-y+k+1=0．
圆心C到直线l的距离为d=

|2k-0+k+1|

k2+1

=

|3k+1|

k2+1

．
∵直线l与曲线C相交弦长为2

3

，
∴r2-d2=(

3

)2，
∴

|3k+1|

1+k2

=1，
∴k=0或k=-

3

4

．
∴直线l的参数方程为

x=-1+t y=1

或

x=-1- 4 5 t y=1+ 3 5 t

（t为参数）．

点评：本题考查了极坐标与直角坐标的关系，参数方程与普通方程的关系，以及圆中弦长与弦心距的关系，本题思维量不大，但计算量较大，属于中档题．