Question

已知函数f（x）=

3

sinωx•cosωx+cos²ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求当x∈（0，

π

2

]时f（x）的值域．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

，由此根据周期为π求得ω的值．
（2）当x∈（0，

π

2

]时，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sinωxcosωx+

1+cos2ωx

2

+1=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

3

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

．
∵ω＞0，∴T=

2π

ω

=π，∴ω=2．
（2）由（1）得：f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

，∵0＜x≤

π

2

，∴

π

6

＜2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，∴1≤f（x）≤

5

2

，即f（x）的值域是[1，

5

2

]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．