Question

已知圆C：x²+y²-2x-4=0一条斜率等于1的直线l与圆C交于A，B两点，
（1）求弦AB最长时直线l的方程；
（2）求△ABC面积最大时直线l的方程；
（3）若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l在y轴上的截距范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）欲求弦AB最长时直线L的方程，依据圆的特征：圆的直径是最长的弦，只须求出l过圆心时的方程即可；
（2）欲求△ABC面积最大时直线L的方程，因其两腰定长，故只须顶角为直角时面积最大，最后利用点到直线的距离公式求解即可；
（3）由斜率为1设出直线l方程y=x+b，表示过C且与直线l垂直的直线方程，两方程联立，求出方程组的解，即为以AB为直径的圆心坐标D，再利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线l的距离d，利用垂径定理及勾股定理表示出DA²，即为以AB为直径圆的半径平方，表示出圆D的方程，原点O在圆内，得到圆心D到原点距离小于圆的半径，列出关于b的不等式，求出不等式的解集得到b的范围，即为直线l在y轴上截距的范围．

解答： 解：（1）∵L过圆心时弦长AB最大，圆心坐标为（1，-2），∴L的方程为x-y-3=0；
（2）△ABC的面积S=

1

2

CA•CBsin∠ACB=

9

2

sin∠ACB，
当∠ACB=

π

2

时，△ABC的面积S最大，
此时△ABC为等腰三角形；
设L方程为y=x+m，则圆心到直线距离为

3 2

2

，
从而有

|1+2+m|

2

=

3 2

2

，
m=0或m=-6，
则L方程为x-y=0或x-y-6=0．
（3）可设直线l：y=x+b，
过点C（1，0）与l垂直的直线的方程为y=-（x-1），即x+y-1=0，
由

y=x+b x+y-1=0

，解得：

x= 1-b 2 y= 1+b 2

，即以AB为直径的圆的圆心坐标为D（

1-b

2

，

1+b

2

），
圆心C到直线l的距离d=

|1+b|

2

，
而DA²=CA²-d²=5-

(1+b)2

2

，
以AB为直径的圆D：（x-

1-b

2

）²+（y-

1+b

2

）²=5-

(1+b)2

2

，
点O在以AB为直径的圆D内，即（

1-b

2

）²+（

1+b

2

）²＜5-

(1+b)2

2

，
解得：

-1- 17

2

＜b＜

-1+ 17

2

，
则所求直线l在y轴上的截距范围为（

-1- 17

2

，

-1+ 17

2

）．

点评：本小题主要考查直线的一般式方程、直线和圆的方程的应用、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想．属于中档题．