题目内容
7．以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为（ ）| A． | 1 | B． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C． | $\sqrt{2}$ | D． | 2 |
分析 设正方形的边长为t，对角线的长为$\sqrt{2}$t，由椭圆和双曲线的定义，结合离心率公式e=$\frac{2c}{2a}$，计算即可得到所求离心率的乘积．
解答 解：设正方形的边长为t，对角线的长为$\sqrt{2}$t，
以正方形的一条边的两个端点为焦点，
且过另外两个顶点的椭圆的离心率为${e_1}=\frac{t}{{\sqrt{2}t+t}}=\frac{1}{{\sqrt{2}+1}}$，
双曲线的离心率为${e_2}=\frac{t}{{\sqrt{2}t-t}}=\frac{1}{{\sqrt{2}-1}}$，
故它们的积为1，
故选A．
点评 本题考查椭圆和双曲线的离心率的乘积，注意运用正方形的性质和椭圆、双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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18．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$为等轴曲线，过右焦点F作x轴的垂线交双曲线与A，B两点，若|AB|=2$\sqrt{2}$，△OAB（O为坐标原点）的面积为（ ）
| A． | 2$\sqrt{2}$ | B． | 2$\sqrt{3}$ | C． | 4$\sqrt{2}$ | D． | 4$\sqrt{3}$ |
15．过双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F且垂直于x轴的直线在第一象限内与C、C的渐近线的交点分别为A、B，若A是BF的中点，则C的离心率为（ ）
| A． | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | B． | $\sqrt{2}$ | C． | 2 | D． | 3 |
