Question

18．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$为等轴曲线，过右焦点F作x轴的垂线交双曲线与A，B两点，若|AB|=2$\sqrt{2}$，△OAB（O为坐标原点）的面积为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意可得a=b，c=$\sqrt{2}$a，令x=c，代入双曲线的方程，求得A，B的坐标，由AB的长求得a，c，由三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得a=b，c=$\sqrt{2}$a，
令x=c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$=±a，
设A（c，a），B（c，-a），
由|AB|=2$\sqrt{2}$，可得2a=2$\sqrt{2}$，
即有a=$\sqrt{2}$，c=2，
可得△AOB的面积为$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，注意运用方程联立，考查运算能力，属于基础题．