Question

12．已知函数f（x）=ln（e^x+a+1）（a为常数）是实数集R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程$\frac{1nx}{f（x）}={x^2}-2ex+m$有且只有一个实数根，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用其函数的性质，求得实数a的值．
（2）关于x的方程 即 $\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+m，令f₁（x）=$\frac{lnx}{x}$，f₂（x）=x²-2ex+m，利用导数求得f₁（x）=$\frac{lnx}{x}$取得最大值为$\frac{1}{e}$，函数f₂（x）=x²-2ex+m的最小值为m-e²．再根据$\frac{1}{e}$=m-e²，求得m的值．

解答 解：（1）函数f（x）=ln（e^x+a+1）（a为常数）是实数集R上的奇函数，故f（0）=ln（2+a）=0，∴a=-1，
函数f（x）=ln（e^x ）=x．
（2）由（1）知，关于x的方程$\frac{1nx}{f（x）}={x^2}-2ex+m$，即 $\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+m．
令f₁（x）=$\frac{lnx}{x}$，f₂（x）=x²-2ex+m，∵${{f}_{1}}^{′}（x）$=$\frac{1-lnx}{x^2}$，故当x∈（0，e]时，${{f}_{1}}^{′}（x）$≥0，函数f₁（x）=$\frac{lnx}{x}$为增函数；
当x＞e时，${{f}_{1}}^{′}（x）$＜0，函数f₁（x）=$\frac{lnx}{x}$ 为减函数，故当x=e时，f₁（x）=$\frac{lnx}{x}$取得最大值为$\frac{1}{e}$．
对于函数f₂（x）=x²-2ex+m，在（0，e]上是减函数，在（e，+∞）上是增函数，
故当x=e时，函数f₂（x）=x²-2ex+m取得最小值为m-e²．
要使关于x的方程$\frac{1nx}{f（x）}={x^2}-2ex+m$有且只有一个实数根，只有$\frac{1}{e}$=m-e²，求得m=e²+$\frac{1}{e}$，
即当m=e²+$\frac{1}{e}$ 时，关于x的方程$\frac{1nx}{f（x）}={x^2}-2ex+m$有且只有一个实数根．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的应用，利用导数研究函数的单调性，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．