Question

已知动圆C与圆C1：(x+1)2+y2=1相外切，与圆C2：(x-1)2+y2=9相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右半轴的交点为A．
（Ⅰ）求轨迹T的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m与轨迹为T相交于M、N两点（M、N不在x轴上）．若以MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆相交的性质

专题：

分析：（Ⅰ）根据两圆的位置关系，利用圆心距和半径的关系得到点C的轨迹是以C₁、C₂为焦点（c=1），长轴长2a=4的椭圆，从而求得椭圆方程；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系求出M、N横纵坐标的积，由以以MN为直径的圆过点A，代入坐标后求出k与m的关系，从而证明直线l过定点，并求出该定点的坐标．

解答： （Ⅰ）解：∵动圆C与圆C1：(x+1)2+y2=1相外切，与圆C2：(x-1)2+y2=9相内切，
∴|CC₁|=r+1，|CC₂|=3-r，
∴|CC₁|+|CC₂|=4         …（2分）
∴点C的轨迹是以C₁、C₂为焦点（c=1），长轴长2a=4的椭圆       …（4分）]
∴点C的轨迹T的方程是

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（Ⅱ）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
将y=kx+m代入椭圆方程得：（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x1+x2=

-8km

4k2+3

，x1x2=

4m2-12

4k2+3

． （*式）     …（8分）
∵MN为直径的圆过点A，A点的坐标为（2，0），
∴

AM

•

AN

=0，即（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0．   …（10分）
∵y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，y1y2=k2x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2，
代入（*式）得：7m²+16km+4k²=0，
∴

m

k

=-

2

7

或

m

k

=-2都满足△＞0，…（12分）
由于直线l：y=kx+m与x轴的交点为（-

m

k

，0），
当

m

k

=-2时，直线l恒过定点（2，0），不合题意舍去，
∴

m

k

=-

2

7

，直线l：y=k(x-

2

7

)恒过定点(

2

7

，0)．…（13分）

点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了利用数量积判断向量的垂直，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用一元二次方程根与系数的关系求解，这样使解题过程简化．