题目内容
如图，一船由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为α，前进5km后到达B，测得此岛的方位角为β，再前进xkm后到达C处，测得此岛在其正北方向．已知该岛周围5km内有暗礁．（Ⅰ）若α=2β=60°，问该船有无触礁危险？
（Ⅱ）若x=4，试问：当α-β最大时，该船有无触礁危险？
考点：解三角形的实际应用
专题：应用题,解三角形
分析：（Ⅰ）确定∠AMC、∠BMC，利用AB=5，求出MC与5比较，即可得到结论；
（2）求出tanα=
，tanβ=
，利用和角的正切公式，结合基本不等式，可得结论．
（2）求出tanα=
| 9 |
| MC |
| 4 |
| MC |
解答：
解：（Ⅰ）∵α=2β=60°，
∴α=60°，β=30°，
∴在Rt△MCA，∠AMC=60°，Rt△MCB中，∠BMC=30°，
∵AB=5，∴
MC-
MC=5，
∴MC=
＜5，
∴该船有触礁危险；
（Ⅱ）在Rt△MCA，9=tanα•MC，Rt△MCB中，4=tanβ•MC
∴tanα=
，tanβ=
，
∴tan（α-β）=
=
=
≤
=
，
当且仅当MC=6时，取等号，即tan（α-β）取得最大值，α-β最大，
此时MC=6＞5，
∴该船没有触礁危险．
∴α=60°，β=30°，
∴在Rt△MCA，∠AMC=60°，Rt△MCB中，∠BMC=30°，
∵AB=5，∴
| 3 |
| ||
| 3 |
∴MC=
5
| ||
| 2 |
∴该船有触礁危险；
（Ⅱ）在Rt△MCA，9=tanα•MC，Rt△MCB中，4=tanβ•MC
∴tanα=
| 9 |
| MC |
| 4 |
| MC |
∴tan（α-β）=
| tanα-tanβ |
| 1+tanαtanβ |
| ||
1+
|
| 6 | ||
MC+
|
| 6 |
| 12 |
| 1 |
| 2 |
当且仅当MC=6时，取等号，即tan（α-β）取得最大值，α-β最大，
此时MC=6＞5，
∴该船没有触礁危险．
点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题轭能力，属于中档题．
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