Question

已知动点M到A（0，1）的距离比它到x轴的距离多一个单位．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点N（2，1）作曲线C的切线l，求切线l的方程，并求出l与曲线C及y轴所围成图形的面积S．

Answer 1

考点：轨迹方程,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）直接由题意得到动点M的轨迹为抛物线，由抛物线定义求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）利用导数求出曲线C的切线l的方程，然后用定积分求l与曲线C及y轴所围成图形的面积．

解答： 解：（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），
依题意得：动点M到点A的距离与它到直线y=-1的距离相等，
由抛物线定义知：M的轨迹C是以A为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，
其方程为：x²=4y；
（Ⅱ）∵曲线C的方程可写成：y=

1

4

x2，
注意到点N（2，1）在曲线C上，过点N的切线l斜率为y′|_x=2=

1

2

x|x=2=1，
故所求的切线l的方程为：y-1=x-2，即y=x-1．
由定积分的几何意义，所求的图形的面积
S

=∫

2 0

(

1

4

x2-x+1)dx=(

1

12

x3-

1

2

x2+x)

|

2 0

=

2

3

．

点评：本题考查了抛物线的定义及标准方程，考查了利用定积分求曲边梯形的面积，是中档题．