Question

已知幂函数f（x）=（-2m²+m+2）x^m-1为偶函数．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）a≤2，判y=f（x）-2ax+1在区间（2，3）上的单调性并用定义加以证明．

Answer 1

考点：幂函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据幂函数的系数一定为1可先确定参数m的值，再根据奇偶性进行验证，可得答案．
（2）根据函数的单调性进行证明即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（-2m²+m+2）x^m-1是幂函数
∴可得-2m²+m+2=1，解得m=1或m=-

1

2

，
当m=1时，满足题意，
当m=-

1

2

时，函数为f（x）=x 

1

2

在其定义域上是奇函数，不是偶函数，不满足条件．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=x²-2ax+1，对称轴为x=a≤2，
∴y在区间（2，3）上单调递增，
设x₁，x_2∈（2，3），且x₁＜x₂，
则△x=x₁-x₂＜0，
∴△y=y₁-y₂=x12-x22+2a(x2-x1)
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2a）（x₁+₂-2a）
=（x₁-x₂）（x₁-a）（x₂-a）
∵△x=x₁-x₂＜0，a≤2，x₁-a＞0，x₂-a＞0，
∴△y＞0，
∴y=f（x）-2ax+1在区间（2，3）上是增函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．