Question

已知a∈R，函数f（x）=2x²（x-a）．
（1）求函数f（x）在区间[1，2]上最小值h（a）；
（2）对（1）中的h（a），若关于a的方程h（a）=k（a+1）有两个不同的实数解，求实数k的取值范围；
（3）若点A（a₁，h（a₁）），B（a₂，h（a₂）），C（a₃，h（a₃）），从左到右依次是函数y=h（a）图象上三点，且这三点不共线，求证：△ABC是钝角三角形．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=6x²-4ax=6x（x-

2

3

a），令f′（x）=0，得x=0或x=

2

3

a．由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．
（2）令y=k（a+1），得y=h（a）图象与直线y=k（a+1）有两个不同的交点，由直线y=k（a+1）恒过定点（-1，0），能求出实数k的取值范围．
（3）．设a₁＜a₂＜a₃，由（2）知h（a₁）＞h（a₂）＞h（a₃），由已知条件推导出

BA

•

BC

＜0，由此能证明△ABC为钝角三角形．

解答： （1）解：∵f（x）=2x²（x-a），
∴f′（x）=6x²-4ax=6x（x-

2

3

a），
令f′（x）=0，得x=0或x=

2

3

a．
①若a＜

3

2

，即0＜

2

3

a＜1时，
则当1≤x≤2时，f′（x）＞0，∴f（x）在区间[1，2]上是增函数，
∴h（a）=f（1）-2a．
②若

3

2

≤a＜3，即1≤

2

3

a＜2时，
则当

2

3

a＜x≤2时，f′（x）＞0，
∴f（x）在区间[1，

2

3

a]上是减函数，在[

2

3

a，2]上是增函数，
∴h（a）=f（

2

3

a）=-

3

27

a3
②若a≥3，即

2

3

a≥2时，当1≤x≤2时，f′（x）≤0，
∴f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴h（a）=f（2）=16-8a，
综上所述，函数f（x）在区间[1，2]上的最小值是：
h(a)=

2-2a，(a＜ 3 2 ) - 8 27 a3，( 3 2 ≤a＜3) 16-8a，(a≥3)

…（8分）
（2）解：∵方程h（a）=k（a+1）有两个不同的实数解，
令y=k（a+1），得y=h（a）图象与直线y=k（a+1）有两个不同的交点，
而直线y=k（a+1）恒过定点（-1，0），
∴实数k的取值范围是（-8，-2）．…（12分）
（3）．证明：不妨设a₁＜a₂＜a₃，
由（2）知h（a₁）＞h（a₂）＞h（a₃），

BA

=（a₁-a₂，h（a₁）-h（a₂）），

BC

=（a₃-a₂，h（a₃）-h（a₂）），
∴

BA

•

BC

=（a₁-a₂）（a₃-a₂）+[h（a₁）-h（a₂）]，
∵a₁-a₂＜0，a₃-a₂＞0，h（a₁）-h（a₂）＞0，h（a₃）-h（a₂）＜0，
∴

BA

•

BC

＜0．又∵A，B，C三点不共线，
∴∠B∈(

π

2

，π)，即△ABC为钝角三角形…（16分）

点评：本题考查函数在闭区间上最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查三角形为钝角三角形的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．