题目内容
已知函数f（x）=-x3+x2+b，g（x）=alnx．
（Ⅰ）若f（x）在x∈[
，1）上的最大值为
，求实数b的值；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．
（Ⅰ）若f（x）在x∈[
| 1 |
| 2 |
| 3 |
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（Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性
专题：综合题,导数的综合应用
分析：（Ⅰ）利用导数求得函数f（x）的最大值，令其为
即可解得；
（Ⅱ）由g（x）≥-x2+（a+2）x分离出参数a后，转化为求函数最值，利用导数可求最值；
| 3 |
| 8 |
（Ⅱ）由g（x）≥-x2+（a+2）x分离出参数a后，转化为求函数最值，利用导数可求最值；
解答：
（Ⅰ）解：由f（x）=-x3+x2+b，得f′（x）=-3x2+2x，
令f′（x）=0，得x=0或
．
列表如下：
由f（
）=
+b，f（
）=
+b，
∴f（
）＞f（
），即最大值为f（
）=
+b=
，
∴b=0．
（Ⅱ）由g（x）≥-x2+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x2-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，
∴lnx＜x，即x-lnx＞0，
∴a≤
恒成立，即a≤(
)min．
令t（x）=
，x∈[1，e]，求导得，t′（x）=
，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，从而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上为增函数，tmin（x）=t（1）=-1，
∴a≤-1．
令f′（x）=0，得x=0或
| 2 |
| 3 |
列表如下：
| f′（x） | - | 0 | + | 0 | - | |||
| f（x） | f（
|
↓ | 极小值 | ↑ | 极大值 | ↓ |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 27 |
∴f（
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
∴b=0．
（Ⅱ）由g（x）≥-x2+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x2-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，
∴lnx＜x，即x-lnx＞0，
∴a≤
| x2-2x |
| x-lnx |
| x2-2x |
| x-lnx |
令t（x）=
| x2-2x |
| x-lnx |
| (x-1)(x+2-lnx) |
| (x-lnx)2 |
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，从而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上为增函数，tmin（x）=t（1）=-1，
∴a≤-1．
点评：该题考查利用导数研究函数的最值、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
，若f（a）=
，则f（-a）=（ ）
| x2+x+1 |
| x2+1 |
| 1 |
| 2 |
A、
| ||
B、-
| ||
C、
| ||
D、-
|
已知定义域为R的函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且函数f（x）为偶函数，则下列结论成立的是 （ ）
| A、f（0）＞f（1） |
| B、f（0）＞f（2） |
| C、f（-1）＞f（2） |
| D、f（-3）＞f（1） |
已知函数g（x）=Acos（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜