Question

已知抛物线C：y²=x．命题p：直线l₁：y=kx+1与抛物线C有公共点．命题q：直线l₂：y=k（x-

1

4

）被抛物线C所截得的线段长大于2．若p∧q为假，p∨q为真，求k的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：分别判断命题p，q的真假，根据复合命题之间的关系即可得到结论．

解答： 解：若p为真，联立C和l₁的方程化简得k²x+（2k-1）x+1=0．k=0时，方程显然有解；
k≠0时，由△≥0得k≤

1

4

且k≠0．综上k≤

1

4

，
若q为真，联立C和l₂的方程化简得k2x2-(

k2

2

+1)x+

k2

16

=0，k=0时显然不成立；
∴x1+x2=

1

2

+

1

k2

，
由于l₂是抛物线的焦点弦，故|AB|=x1+x2+p=1+

1

k2

＞2，解得-1＜k＜1且k≠0．
∵若p∧q为假，p∨q为真，∴p，q一真一假．
若p真q假，则k≤-1或k=0； 若q真p假，则

1

4

＜k＜1．
综上k≤-1或k=0或

1

4

＜k＜1．

点评：本题主要考查复合命题的真假应用，分别判断命题p，q的真假是解决本题的关键．