Question

已知函数f（x）=x³-x．
（1）求曲线y=f（x）在点M（1，0）处的切线方程；
（2）求y=f（x）的单调区间．
（3）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：-a＜b＜f（a）

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）令f′（x）＞0得增区间，令f′（x）＜0得减区间；
（3）设切点为M（t，t³-t），得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，得到关于t的方程，再令g（t）
=2t³-3at²+a+b，运用导数求出极值，令极大值大于0，极小值小于0，即可得证．

解答： （1）解：函数f（x）=x³-x的导数f′（x）=3x²-1，
则在点M（1，0）处的切线斜率为3-1=2，
故曲线y=f（x）在点M（1，0）处的切线方程为y=2（x-1），即y=2x-2．
（2）解：令f′（x）＞0得x＞

3

3

或x＜-

3

3

；令f′（x）＜0，则-

3

3

＜x＜

3

3

．
故f（x）的增区间为（-∞，-

3

3

）和（

3

3

，+∞）；减区间为(-

3

3

，

3

3

)；
（3）证明：设切点为M（t，t³-t），N（a，b）
易知K_MN=K_切线，所以

t3-t-b

t-a

=3t²-1，
可化为  2t³-3at²+a+b=0，①
于是，若过点N（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，
则方程①有三个相异实数根，记g（t）=2t³-3at²+a+b，
则g'（t）=6t（t-a），
易知g（t）的极大值为g（0）=a+b，极小值为g（a）=2a³-3a³+a+b=b-f（a），
综上，如果过N（a，b）可作曲线三条切线，则

a+b＞0 b-f(a)＜0

，
即-a＜b＜f（a）．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、求极值，考查函数与方程的转化思想，属于中档题．