Question

定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）-2，当x∈（0，2]时，f（x）=

x2-x，x∈(0，1) 1 x ，x∈[1，2]

，若x∈（0，4]时，t²-

7t

2

≤f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A、[1，2]
• B、[2，

  5

  2

  ]
• C、[1，

  5

  2

  ]
• D、[2，+∞）

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由f（x+2）=2f（x）-2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]，的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t²-

7t

2

≤f（x）恒成立即为由t²-

7t

2

≤f（x）_min，解不等式即可得到所求范围．

解答： 解：当x∈（2，3），则x-2∈（0，1），
则f（x）=2f（x-2）-2=2（x-2）²-2（x-2）-2，即为
f（x）=2x²-10x+10，
当x∈[3，4]，则x-2∈[1，2]，
则f（x）=2f（x-2）-2=

2

x-2

-2．
当x∈（0，1）时，当x=

1

2

时，f（x）取得最小值，且为-

1

4

；
当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x）取得最小值，且为

1

2

；
当x∈（2，3）时，当x=

5

2

时，f（x）取得最小值，且为-

5

2

；
当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为-1．
综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为-

5

2

．
若x∈（0，4]时，t²-

7t

2

≤f（x）恒成立，
则有t²-

7t

2

≤-

5

2

．
解得1≤t≤

5

2

．
故选：C．

点评：本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的最小值，运用不等式的恒成立思想转化为求函数的最值是解题的关键．