Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（2，0）作其中一条渐近线的垂线，垂直为E，O为坐标原点，当△OEF的面积最大时，双曲线的离心率等于（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：不等式的解法及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出双曲线的一条渐近线方程，由点到直线的距离公式可得d=b，再由勾股定理可得|OE|=a，结合重要不等式
a²+b²≥2ab，可得ab的最大值及△OEF的面积的最大值，由等号成立的条件，即可得到离心率．

解答： 解：设双曲线的一条渐近线方程为y=

b

a

x，
即有右焦点F（c，0）（c=2）到渐近线的距离为：
d=

| bc a |

1+ b2 a2

=b，
则|OE|=

|OF|2-|EF|2

=

c2-b2

=a，
由a²+b²=4，
又ab≤

a2+b2

2

=2，（当且仅当a=b取等号），
则△OEF的面积为

1

2

ab≤1，
当且仅当a=b=

2

取得最大值1．
则离心率e=

c

a

=

2

．
故选：A．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和离心率的求法，运用点到直线的距离公式和重要不等式是解题的关键．