Question

设函数f（x）=e^x-1+

a

x

（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1处有极值，求a的值；
（2）在（1）条件下，若函数g（x）=f（x）+b在（0，+∞）上有零点，求b的最大值；
（3）若f（x）在（1，2）上为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）利用极值点处的导数为零列方程求a，但勿忘验证；
（2）先利用导数研究函数的单调性、极值，最后利用极值的符号，端点处函数值的符号结合图象来求解；
（3）即该函数在（1，2）上导数恒为正或恒为负，最终转化为不等式恒成立问题．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x-1-

a

x2

，又函数f（x）在x=1处有极值，
∴f'（1）=0，a=1，经检验符合题意．
（2）g'（x）=e^x-1-

1

x2

，
当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，
当x=1时，g'（x）=0，
当x∈（1，+∞）时g'（x）＞0，g（x）为增函数，
∴g（x）在x=1时取得极小值g（1）=2+b，
依题意g（1）≤0，∴b≤-2，∴b的最大值为-2；
（3）f'（x）=e^x-1-

a

x2

，当f （x）在（1，2）上单调递增时，e^x-1-

a

x2

≥0在[1，2]上恒成立，
∴a≤x²e^x-1，令h（x）=x²e^x-1，则h'（x）=e^x-1（ x²+2 x）＞0在[1，2]上恒成立，即h（x） 在[1，2]上单调递增，
∴h（x） 在[1，2]上的最小值为h（1）=1，∴a≤1；
当f（x）在[1，2]上单调递减时，同理a≥x²e^x-1，
h（x）=x²e^x-1在[1，2]上的最大值为h（2）=4e，∴a≥4e；
综上，实数a的取值范围为a≤1或a≥4e；

点评：强调第一点，利用极值点处函数值求字母要验证，第二点，要准确理解单调函数的概念，同时此类问题要转化为不等式恒成立，转化为函数的最值问题作为落脚点．