Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）当 a=-1时，证明：在（1，+∞）上，f（x）+2＞0；
（2）求证：

ln2

2

•

ln3

3

•

ln4

4

…

lnn

n

＜

1

n

（n≥2，n∈N⁺）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数求得函数在（1，+∞）上的最小值为f（1）=-2，即可得出证明；
（2）由（1）得-ln x+x-3+2＞0，即ln x＜x-1对一切x∈（1，+∞）恒成立．0＜ln n＜n-1，即0＜

lnn

n

＜

n-1

n

，即可得出结论成立．

解答： 解：（1）根据题意知，f′（x）=

a(1-x)

x

（x＞0），
当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为（1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1]；
当a=0时，f（x）不是单调函数．
所以a=-1时，f（x）=-ln x+x-3，在（1，+∞）上单调递增，
所以f（x）＞f（1），
即f（x）＞-2，所以f（x）+2＞0．…（6分）
（2）由（1）得-ln x+x-3+2＞0，即-ln x+x-1＞0，
所以ln x＜x-1对一切x∈（1，+∞）恒成立．∵n≥2，n∈N^*，
则有0＜lnn＜n-1，∴0＜

lnn

n

＜

n-1

n

，
∴

ln2

2

•

ln3

3

•

ln4

4

•…•

lnn

n

＜

1

2

•

2

3

•

3

4

•…•

n-1

n

=

1

n

（n≥2，n∈N^*）．        …（12分）

点评：本题主要考查利用导数判断函数的单调性求函数的最值知识，考查利用导数证明不等式问题，注意构造函数法的应用，属于难题．