Question

如图，在三棱锥A-BCD中，AO⊥平面BCD；O，E分别是BD，BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（1）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（2）求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取AC的中点M，连接OM，ME，OE，直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，由此能求出异面直线AB与CD所成角的余弦值．
（2）设点E到平面ACD的距离为h，由V_E-ACD=V_A-CDE，能求出点E到平面的距离．

解答： （1）解：取AC的中点M，连接OM，ME，OE
由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC，
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．
在△OME中，EM=

1

2

AB=

2

2

，OE=

1

2

DC=1，
∵OM是Rt△AOC斜边AC上的中线，
∴OM=

1

2

AC=1，
∴cos∠OEM=

2

4

．
（2）解：设点E到平面ACD的距离为h．
∵V_E-ACD=V_A-CDE
∴

1

3

h•S△ACD=

1

3

•AO•S△CDE，
在△ACD中，CA=CD=2，AD=

2

，
∴S△ACD=

1

2

×

2

×

22-( 2 2 )2

=

7

2

，
而AO=1，S△CDE=

1

2

×

3

4

×22=

3

2

∴h=

AO•S△CDE

S△ACD

=

21

7

，
∴点E到平面的距离为

21

7

．

点评：本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．