Question

如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当AB=2BE，且CE=

3

时，求AD的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,圆的切线的判定定理的证明

专题：立体几何

分析：（1）连接OC，由已知条件推导出OC∥AD，又CD⊥AD，从而CD⊥OC，由此能证明CD为⊙O的切线．
（2）由已知得OE=2OC，在Rt△EOC中，设CO=x，即OE=2x，由勾股定理得：CE=

3

x，由此能求出AD．

解答： （1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠2，
∵又AO=CO，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，∵又CD⊥AD，∴CD⊥OC，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：∵直径AB=2BE，
∴OE=2OC，
在Rt△EOC中，设CO=x，即OE=2x，
由勾股定理得：CE=

3

x，
又∵CE=

3

，∴x=1，即OC=1，
∵OC∥AD，∴△EOC∽△EAD，
∴

OC

AD

=

OE

AE

，即

1

AD

=

2

3

，
解得AD=

3

2

．

点评：本题考查直线是圆的切线的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．