Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-|x^3-2x^2+x|，x＜1}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，若对于?t∈R，f（t）≤kt恒成立，则实数k的取值范围是[$\frac{1}{e}$，1]．

Answer 1

分析 由x＜1时函数的单调性，画出函数f（x）的图象，作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），求出切点和斜率，设直线与y=x（x-1）²（x≤0）图象相切于点（0，0），得切线斜率k=1，由图象观察得出k的取值范围．

解答 解：当x＜1时，f（x）=-|x³-2x²+x|=-|x（x-1）²|=$\left\{\begin{array}{l}{{x（x-1）}^{2}，x＜0}\\{-{x（x-1）}^{2}，0≤x＜1}\end{array}\right.$，
当x＜0，f′（x）=（x-1）（3x-1）＞0，
∴f（x）是增函数；
当0≤x＜1，f′（x）=-（x-1）（3x-1），
∴f（x）在区间（0，$\frac{1}{3}$）上是减函数，
在（$\frac{1}{3}$，1）上是增函数；
画出函数y=f（x）在R上的图象，如图所示；
作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），
则由（lnx）′=$\frac{1}{x}$，得k=$\frac{1}{m}$，
即lnm=km，解得m=e，k=$\frac{1}{e}$；
设直线与y=x（x-1）²（x≤0）的图象相切于点（0，0），
∴y′=[x（x-1）²]′=（x-1）（3x-1），则有k=1，
由图象可得，当直线绕着原点旋转时，转到与y=lnx（x≥1）图象相切，
以及与y=x（x-1）²（x≤0）图象相切时，直线恒在上方，即f（t）≤kt恒成立，
∴k的取值范围是[$\frac{1}{e}$，1]．
故答案为：[$\frac{1}{e}$，1]．

点评 本题考查不等式恒成立以及分段函数的应用问题，利用导数以及数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．