Question

12．在棱长为1的正方体AC₁中，E，F，M，N分别为棱AB，CD，DD₁，CC₁的中点，点P在四边形AEFD内及其边界上运动，点Q在四边形MNC₁D₁内及其边界上运动，则线段PQ的中点G的轨迹所形成的几何体的体积为（　　）

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $\frac{3}{8}$
• C． $\frac{1}{32}$
• D． $\frac{3}{32}$

Answer 1

分析 建立空间坐标系，设P，Q的坐标，求出G的坐标的范围，得出G的轨迹，求出体积．

解答 解：以D为原点建立空间坐标系如图，
设P（x，y，0），Q（a，0，c）．则G（$\frac{x+a}{2}$，$\frac{y}{2}$，$\frac{c}{2}$）．
∵点P在四边形AEFD内及其边界上运动，点Q在四边形MNC₁D₁内及其边界上运动，
∴0$≤x≤\frac{1}{2}$，0≤y≤1，0≤a≤1，$\frac{1}{2}≤c≤1$．
∴0≤$\frac{x+a}{2}$≤$\frac{3}{4}$，0≤$\frac{y}{2}$≤$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$≤$\frac{c}{2}$≤$\frac{1}{2}$．
∴G点轨迹形成的几何体是边长分别为$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$的长方体．
∴V=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{32}$．
故选：D．

点评 本题考查了空间几何体的判断，体积计算，结合坐标范围判断几何体的形状是关键．