Question

已知函数g（x）=e^x-1-ax，a∈R，e是自然对数的底数．
（1）若a=1，求g（x）的单调区间；
（2）设f(x)=g(x)-

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-

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，若当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时代入到g（x）的解析式中，求导，分别令导函数大于0和小于0，求出单调区间；
（2）对f（x）求导，得到f′(x)=ex-a-x-

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2

，再次求导，得到f″（x）=e^x-1-x，由（1）知，当x≥0时，f″（x）≥0，从而得到f′（x）在[0，+∞）上为单增函数，亦有f′（x）_min=f′（0）=1-a，然后只需分成1-a≥0和1-a＜0两种情况讨论分析即可．

解答： 解：（1）当a=1时，g（x）=e^x-1-x，则g′（x）=e^x-1，
令g′（x）＞0，即e^x-1＞0，x＞0；令g′（x）＜0，即e^x-1＜0，x＜0，
∴g（x）的单调増区间是（0，+∞），g（x）的单调减区间是（-∞，0）．
（2）由题可得，f（x）=ex-1-ax-

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2

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，则当x≥0时，ex-1-ax-

x2

2

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x3

6

≥0恒成立，
f′(x)=ex-a-x-

x2

2

，f″（x）=e^x-1-x，
由（1）知，f″（x）在[0，+∞）上为单增函数，且f″（x）=0，
得，当x≥0时，f″（x）≥0，即f′（x）在[0，+∞）上为单增函数，
∴f′（x）_min=f′（0）=1-a，
①当1-a≥0时，f′（x）≥1-a≥0，从而f（x）在[0，+∞）上为单增函数，又f（0）=0，即当x≥0时，f（x）≥0恒成立，满足题意；
②当1-a＜0时，f′（x）_min＜0，结合着f′（x）的性质，即f′（x）在[0，+∞）上为单增函数及当x→+∞时，f′（x）→+∞，可知，
必存在一个x₀＞0，且f（x₀）=0，则当0＜x＜x₀时，f′（x）＜0，即当0＜x＜x₀时，f（x）为单减函数，即f（x）＜f（0）=0，显然，不合题意．
综上所述，a≤1．

点评：本题第二问的求解中，需要对导函数再次求导来解决问题．学生在处理时，需要很清楚的把握原函数和导函数的关系，由导函数的符号转化为原函数的单调性，一层一层剖析转化，最终达到题目中的要求，即“当x≥0时，f（x）≥0恒成立”．