Question

已知a∈R，函数f（x）=x²-2ax+5．
（1）若不等式f（x）＞0对任意x∈R恒成立，求实数a的最值范围；
（2）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由一元二次不等式的性质可知不等式f（x）=x²-2ax+5＞0对任意x∈R恒成立等价于△=4a²-20＜0．解不等式即可得到实数a的最值范围．
（2）函数f（x）=x²-2ax+5图象的对称轴为x=a（a＞1）．则f（x）在[1，a]上为减函数．又函数f（x）的值域均为[1，a]，所以

f(a)=a2-2a+5=1 f(1)=1-2a+5=a

．解不等式组即可得到a的值为2．

解答： 解：（1）∵x²-2ax+5＞0对任意x∈R恒成立
∴△=4a²-20＜0．
解得-

5

＜a＜

5

．
∴实数a的取值范围是（-

5

，

5

）．
（2）∵函数f（x）=x²-2ax+5图象的对称轴为x=a（a＞1）．
∴f（x）在[1，a]上为减函数．
∴f（x）的值域为[f（a），f（1）]．
又∵函数f（x）的值域均为[1，a]，
∴

f(a)=a2-2a+5=1 f(1)=1-2a+5=a

．
解得a=2．

点评：本题考查一元二次不等式的性质以及二次函数的图象与性质，属于中档题．