Question

如图：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=C₁C，AC⊥CB，D为AB的中点，
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（2）求二面角B-B₁C-D的正弦值的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接BC₁交B₁C于E，证明AC₁∥平面CDB₁，只需证明AC₁∥DE，利用三角形中位线可得；
（2）求出点B到平面B₁CD的距离，即可求二面角B-B₁C-D的正弦值的大小．

解答： （1）证明：连接BC₁交B₁C于E，∴E为BC₁的中点，…（2分）
连接DE，由D为AB的中点，∴DE为△ABC₁的中位线，
∴AC₁∥DE，…（4分）
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁；                                              …（6分）
（2）解：由AC=BC=C₁C易知BB₁C₁C为正方形，
∴BE⊥B₁C，
令AC=BC=C₁C=1，
设点B到平面B₁CD的距离为d，则由等体积可得

1

3

•

1

2

•

2

2

•

6

2

d=

1

3

•

1

2

•

2

2

•

2

2

•1，
∴点B到平面B₁CD的距离为

3

3

，且BE=

2

2

，…（10分）
若二面角B-B₁C-D的平面角为α，则sinα=

d

BE

=

6

3

．…（12分）

点评：本题考查线面平行，考查面面角，正确利用线面平行的判定定理，求出点B到平面B₁CD的距离是关键．