Question

在区间[0，1]上给定曲线y=x²，试在此区间内确定点t的值，使图中阴影部分的面积：
（1）S₁=S₂；
（2）S=S₁+S₂最小．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）利用定积分求出面积，根据S₁=S₂，建立方程，即可确定点t的值；
（2）S=S₁+S₂=

4

3

t³-t²+

1

3

（0≤t≤1），求导数，确定函数的单调性，即可求出最小值．

解答： 解：（1）∵S₁=t•t²-∫

t 0

x²dx=

2

3

t³，
S₂=∫

1 t

x²dx-（1-t）•t²=

2

3

t³-t²+

1

3

，
∵S₁=S₂，
∴

2

3

t³=

2

3

t³-t²+

1

3

，
∴t=

3

3

．
（2）∵S=S₁+S₂=

4

3

t³-t²+

1

3

（0≤t≤1），
S′=4t²-2t=4t（t-

1

2

），令S′=0，得t=0，t=

1

2

．
∵函数在（0，

1

2

）上S′＜0，在（

1

2

，1）上S′＞0，
∴t=

1

2

是极小值点，
又S（

1

2

）=

1

4

，S（0）=

1

3

，S（1）=

2

3

，
故t=

1

2

时，S=S₁+S₂最小．

点评：本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．