Question

如图所示，PA⊥平面ABCD，△ABC为等边三角形，AP=AB，AC⊥CD，M为AC的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面PCD；
（Ⅱ）若直线PD与平面PAC所成角的正切值为

6

2

，求二面角A-PD-M的正切值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出BM⊥AC，从而得到BM∥CD，由此能够证明BM∥平面PCD．
（Ⅱ）由已知条件推导出PA⊥CD，从而得到CD⊥平面PAC．所以直线PD与平面PAC所成角为∠DPC，在平面PAD中，过N作NH⊥PD，连结MH，由题意得∠MHN为二面角A-PD-M的平面角，由此能求出二面角A-PD-M的正切值．

解答： （本题满分14分）
（Ⅰ）证明：∵△ABC为等边三角形，M为AC的中点，
∴BM⊥AC．又∵AC⊥CD，∴在平面ABCD中，有BM∥CD．…（3分）
又∵CD?平面PCD，BM?平面PCD，
∴BM∥平面PCD．…（5分）
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．
∴直线PD与平面PAC所成角为∠DPC．…（7分）
在Rt△PCD中，tan∠DPC=

CD

PC

=

6

2

．
设AP=AB=a，则AC=a，PC=

2

a，
∴CD=

6

2

PC=

3

a，
在Rt△ACD中，AD²=AC²+CD²=4a²，∴AD=2a．…（9分）
∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．
在Rt△ACD中，过M作MN⊥AD．
又∵平面ABCD∩平面PAD=AD，MN?平面ABCD，
∴MN⊥平面PAD．
在平面PAD中，过N作NH⊥PD，连结MH，
则PD⊥平面MNH．
∴∠MHN为二面角A-PD-M的平面角．…（12分）
在Rt△ACD中，MN=

3

4

a，AN=

1

4

a，ND=

7

4

a，
∴

NH

PA

=

DN

PD

，∴NH=

PA•DN

PD

=

7

4 5

a，
∴tan∠MHN=

MN

NH

=

3 4 a

7 4 5 a

=

15

7

，
∴二面角A-PD-M的正切值为

15

7

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．