Question

已知函数f（x）=2^x-1的反函数为y=f^-1（x），记g（x）=f^-1（x-1）
（1）求函数y=2f^-1（x）-g（x）的最小值；
（2）集合A={x|[1+f（x）]•|f（x）|≥2}，对于任意的x∈A，不等式2f^-1（x+m）-g（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：转化思想,函数的性质及应用

分析：（1）求出原函数的反函数，然后推出函数y=2f^-1（x）-g（x）的表达式，即可求解其最小值；
（2）通过集合A={x|[1+f（x）]•|f（x）|≥2}，求出集合A，对于任意的x∈A，不等式2f^-1（x+m）-g（x）≥0恒成立，转化为对数函数恒成立，进一步转化为二次函数恒成立问题，然后求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=2^x-1的反函数为y=f^-1（x）=log₂（x+1），x＞-1
∴g（x）=f^-1（x-1）=log₂x．x＞0．
∴函数y=2f^-1（x）-g（x）=2log₂（x+1）-log₂x=log2

(x+1)2

x

=log2

x2+2x+1

x

=log2(x+

1

x

+2)，
∵x＞0，∴x+

1

x

+2≥4，当且仅当x=1时取等号，
∴函数y=2f^-1（x）-g（x）的最小值为：log₂4=2．
（2）∵集合A={x|[1+f（x）]•|f（x）|≥2}，
∴[1+f（x）]•|f（x）|≥2，即2^x|2^x-1|≥2，
可得：

2x-1≥0 22x-2x≥2

…①或

2x-1＜0 22x-2x≤-2

…②
解①得x≥1；解②得：x∈∅．
∴A={x|x≥1}，
∴不等式2f^-1（x+m）-g（x）≥0，化为2log₂（x+m+1）-log₂x≥0，
对于任意的x∈A，不等式2f^-1（x+m）-g（x）≥0恒成立，
即对于任意的x∈A，不等式2log₂（x+m+1）-log₂x≥0恒成立，
∴表达式转化为：log2

(x+m+1)2

x

≥0，在x≥1时恒成立；
即

(x+m+1)2

x

≥1，在x≥1时恒成立；
（x+m+1）²≥x在x≥1时恒成立；
x²+（2m+1）x+（m+1）²≥0，在x≥1时恒成立；
令h（x）=x²+（2m+1）x+（m+1）²，函数的开口向上，要使在x≥1时恒成立；
必须满足

- 2m+1 2 ≤1 h(1)≥0

或△＜0，
即

- 2m+1 2 ≤1 1+2m+1+(m+1)2≥0

…①或（2m+1）²-4（m+1）²＜0…②
解①得：m≥-1或m≤-3．
解②得：m＞-

3

4

，
综上：m∈{m|m≥-1或m≤-3}．

点评：本题考查函数恒成立问题，反函数以及对数函数基本不等式以及二次函数闭区间上的最值问题，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．